为何不直接用教科书、MIT OpenCourseWare、可汗学院等资源学习？

原文：Why Not Just Learn from a Textbook, MIT OpenCourseWare, Khan Academy, etc.? - Justin Skycak

作者：Justin Skycak (@justinskycak)，发表于 2024 年 7 月 7 日

我自己就曾使用这类资源学习，尽管受益匪浅，但考虑到我投入的巨大努力，如果我的时间能被更高效地利用，我本可以取得远超于此的成就。这正是 Math Academy 致力于解决的问题。

我高中时，曾在 MIT OpenCourseWare (OCW) 上自学了大量数学课程。

OCW 是个不错的资源，我通过它取得了很大进步，但考虑到我在 OCW 上投入的巨大努力，如果我的时间能被更高效地利用，我本可以取得远超于此的成就。

仅列举 OCW 的几点低效之处：

• 引导/铺垫不足 →→ 你会周期性地碰壁，苦思冥想「这步是怎么推导出来的？」，需要花费很长时间才能弄明白其中思维或逻辑上的跳跃（甚至可能最终也搞不明白）。

• 不追踪学习进度/不确保你已掌握新知识的前置知识 →→ 你常常感到现有知识水平与新内容之间存在巨大断层，导致再次碰壁，试图弄清自己缺失哪些前置知识以及如何弥补。

• 缺乏间隔复习 →→ 你学到的很多东西很快就会生疏，这不仅意味着课程结束后你会遗忘大量内容，在学习过程中你也持续在遗忘前置知识。

• 无法根据你的学习表现进行调整 →→ 你浪费了大量时间，做了不匹配的练习量。有时你对某个主题掌握很快，结果做了过多不必要的练习；有时你在某个主题上遇到困难，练习量又不足以掌握它。

• 将「掌握」的定义留给学习者自行判断 →→ 作为学习者，你很难判断何时才算真正掌握了某个知识点，可以继续前进。你常常自以为掌握了，实则不然——除非有专家来评估你的掌握程度，否则你无从知晓。另一方面，你也可能过于追求完美而原地打转，为了某个无法完全直观理解的细枝末节，在同一个主题上耗费一周时间，而此时更有效率的做法或许是继续前进，并在现有基础上继续学习来巩固理解。

• 缺乏足够的成功解题体验 →→ 在典型的大学课程中，整个学期你可能只会做 50-100 道作业题。学习阻力很大，导致你每道题都要挣扎 20 多分钟，并且常常直到放弃、查看答案或求助于助教才得以解决。但如果题目被细致分解并按精心设计的顺序呈现，且只在你掌握了前置知识后才出现，那么你解题的速度会快得多，比如平均几分钟就能解决一道题。这正是一位优秀导师会做的事情：为你搭建学习阶梯，让你每几分钟就能解决一个问题，循序渐进地引导你学习。通过这种方式，你的解题数量能增加十倍，成功率也大大提高。

• 缺乏足够的知识检测 →→ 大多数大学课程整个学期只有寥寥几次考试（即使是中小学课堂，通常几周也难得有一次以上的测验）。然而，快速、频繁的定时测验——比如每隔几天进行一次 15 分钟的测验——是进行提取练习、培养解题自动化的有效方式，同时也能及时发现需要额外练习的薄弱环节。

• 缺乏有针对性的补习 →→ 很少有资源能在你测验出错后提供额外的针对性练习。最多，你可能需要自己主动去复习错题。但更理想的做法是，针对每种错题类型进行一系列额外练习，直到你能稳定、正确地解决这类问题——然后，你还需要在包含同类型不同题目的重测中证明自己确实掌握了。

这个列表我还可以继续写下去，但讲到这里，你可能已经明白我的意思了：

所有这些因素都给学习过程带来了无效的阻力，导致你每投入单位时间/精力所能带来的学习进展更少。

这也是我如此积极投身于创建 Math Academy 的原因之一。我们致力于尽可能地消除这些学习过程中的阻力，并最大化你的学习效率。

这便是我们的核心价值主张：诚然，在别处学习数学是可能的，但在我们这里学习效率要高得多。

尽管在别处学习数学是可能的，但大多数学习者实际上并不会去这样做，因为学习过程中存在太多的阻力。

而这才是真正关键的一点：效率之所以重要，不仅在于它能让你进步更快，还在于它能让你放弃的可能性更小。

实践中，一旦学习数学开始让人感觉效率太低，人们就会「下车」，停止学习。无论做什么事情，一旦「进展与付出比」过低，你就会失去兴趣，转而将精力投入到那些「投入产出比」更高的事情上。

效率的作用就是让这个「进展与付出比」尽可能地高，从而让你尽可能久地留在学习数学这趟「列车」上。

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至此，本文讨论了如何消除学习过程中的阻力来源。

但我也想指出，这些消除阻力的方法可以被有效地【利用】起来，将学习速度提升至超越常规水平的高度。

例如，课堂上不复习之前学过的内容是个问题。学生们会不断遗忘，以至于需要不断地、几乎从零开始重新学习，这给学习过程带来了巨大的阻力。

你可以通过复习之前学过的内容来减少这种阻力。任何称职的老师都明白这一点。

但是，这里仍有巨大的提升空间！

复习总比不复习好……但最佳做法是优化复习过程，从而：

1. 你只复习你确实需要复习的内容；并且

2. 你选择的学习任务能够最小化复习所需的时间投入，来高效完成所有必要的复习。

理想状态是，尽可能多地将时间用于学习新知识，同时又能自然地练习到之前学过的内容。

正如我在这篇文章中详细阐述的，Math Academy 正是利用了「高级数学主题通常『包含』更简单主题」这一特性来实现这一理想状态。其核心思想在于，我们常常能让学生通过学习新知识来「顺带完成」复习任务。

例如，假设一个学生昨天学会了解方程 $$ax=b$$，今天按计划需要复习……那么，我们不妨直接让他学习新知识——解方程 $$ax+b=c$$！

解 $$ax+b=c$$ 方程本身就「包含」了解 $$ax=b$$ 方程这项基础技能，因此学习新知识的过程自然就提供了所需的复习——这一切都发生在学生学习新内容的同时。

（而且，即便我们无法通过学习新知识「顺带完成」学生所有到期的复习任务，我们依然可以将它们压缩成数量少得多的组合复习任务。例如，原本需要复习 10 个知识点，现在可能只需复习两个能共同涵盖那十个旧知识点的主题即可。）

类似这样找到一种改进方法，将其潜力挖掘到极致，甚至将其转化为一种加速器的例子还有很多。再比如教学脚手架：有总比没有好，但搭建得越完善越好！

在我上文描述的所有（以及许多未提及的）学习阻力来源中，相应的改进方法都可以被有效地利用起来，将曾经的巨大阻力转变为巨大的推动力。

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最后，我想强调的是，我认为有免费资源可用，这本身是件大好事。

不同的学生有不同的需求：有些人愿意为更高的学习效率投资，而另一些人则宁愿选择免费资源，即便学习过程阻力更大。这完全没有问题！

这有点像健身行业，提供了多种选择。有些人想要私人教练，有些人只需要健身房会员资格，还有些人则满足于用几件简单的器械在家锻炼。

但正如我之前所说，尽管像 OCW 这样的资源非常棒，我通过它受益匪浅，它也彻底改变了我的人生轨迹……

但考虑到我在 OCW 上投入的巨大努力，如果我的时间能被更高效地利用，我本可以取得远超于此的成就。